Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, guten Morgen, willkommen zur dritten Vorlesung. Heute beschäftigen wir uns mit Wellenfunktionen und der Schrödinger-Gleichung.

Wir hatten uns bisher mit Amplituden beschäftigt, mit Übergangsamplituden, wie man die zur Unterscheidung nennen könnte,

dass ein Teilchen von einem Punkt X zu einem Punkt Y übergeht.

Und in diesem Verb übergeht ist all das versteckt, was wir nicht verstehen, wie genau es das tut.

Aber wir wissen, wir können dafür eine Amplitude ausrechnen, aus der klassischen Wirkung für ein Teilchen.

Und was wir auch spezifizieren müssen, ist die Zeitdauer, die wir für den Übergang brauchen.

Und wir hatten uns das letzte Mal Elementar-Amplituden angeschaut.

Und dann, unter der Voraussetzung, dass alle möglichen Pfade als interferierende Alternativen aufkommen zwischen den beiden Punkten, hatten wir das Pfadintegral formuliert.

Das werde ich nochmal kurz wiederholen und noch kurz etwas zum Pseudomaß des Pfadintegrals sagen.

Und dann werden wir aber was anderes tun. Wir werden dann Amplituden, die wir dann Wellenfunktionen nennen, das werde ich genau einführen,

werden wir nicht mehr berechnen aus dieser Pfadintegraldefinition, denn die ist sehr, sehr umständlich.

Sondern wir werden zeigen, dass man diese umständliche, aber sehr anschauliche Pfadintegraldefinition der Amplitude umwandeln kann in eine Differentialgleichung für die Amplitude.

Und diese Differentialgleichung, das haben Sie bestimmt alle schon mal gehört, das ist die Schrödingergleichung.

Das ist also keine andere Quantenphysik, das ist keine andere Theorie,

sondern es ist die gleiche Theorie, es ist einfach das Problem, ein Integral auszurechnen, verwandelt in ein Problem, eine Differentialgleichung zu lösen.

Und das ist natürlich sehr, sehr praktisch, aber bevor wir dorthin kommen, möchte ich erst nochmal kurz einige Worte sagen zum letzten Mal aufgeschriebenen Pfadintegral und seine Maß.

Und das Maß schreiben wir in Anführungszeichen, weil es im mathematischen Sinne gar kein Maß ist und das ist ein offenes Problem, wie das geht.

Also ganz kurz zusammengefasst hatten wir uns letztes Mal angeschaut, Amplituden, Übergangsamplituden, nämlich für ein Teilchen von einem Punkt xA zu einem Punkt xB im physikalischen Raum zu gelangen.

Und wir hatten verabredet für diese Vorlesung, dass wir uns da einfach eine Karte hernehmen des flachen, neutronschen Raumes, in der man das hat, was man üblicherweise karthesische Koordinaten nennt,

oder was man in etwas verfeinerten Betrachtungsweise Koordinaten nennt, in denen die Gammasymbole alle verschwinden.

Für diejenigen von Ihnen, die die letzten zwei Sätze nicht verstanden haben, ignorieren Sie die.

Wir nehmen uns also hier den physikalischen Ortsraum und wir spezifizieren aber auch die Zeitdauer.

Und das letzte Mal hatte ich einfach nur die Differenz der Zeiten notiert, bei denen das Teilchen losläuft und der Zeit, bei der das Teilchen ankommt.

Wir können die natürlich auch explizit notieren, dann haben wir so eine Amplitude hier und, naja, Doppelpunkt gleich, gleich, wie auch immer.

Jetzt hatten wir dann das Fahrtintegral formuliert und wir haben gesehen, um eine solche Amplitude auszurechnen und alle möglichen Wege zwischen XA und XB als interferierende Möglichkeiten zu nutzen,

hatten wir die Zeit diskretisiert in großendviele Schritte.

Nicht die räumliche Achsen diskretisiert, sondern die Zeitachse, aber selbstverständlich eine solche Diskretisierung, die möchten wir dann wieder entfernen.

Und wir hatten der Einfachheit halber eine equidistante Diskretisierung oder, weiß die Zeit, eine equitemporäre Diskretisierung genommen, aber am Schluss wollen wir die entfernen.

Wir wollten also ganz, ganz kleine Zeitschrittchen machen, deswegen kam da so ein Limes vor.

Und dann kamen, für jeden Zeitschritt haben wir über alle möglichen Positionen integriert, also für den i-Zeitschritt haben wir über all die XI integriert, die da aufkommen.

Also dieses i läuft wirklich von 0 bis N eigentlich.

Aber erinnern Sie sich nochmal an dieses Bild mit dem Rechenschieber, mit den ganzen Perlen, die mit Gummiseilen verbunden sind.

Den Anfangspunkt halte ich fest, den Endpunkt halte ich fest und jetzt will ich alle Wege zwischen zwei festgehaltenen Endpunkten.

Das heißt, ich fange erst nicht beim Nulltenschieber anzuschieben, denn das ist festgehalten, sondern beim ersten, beim zweiten, beim dritten.

Und das Nte halte ich auch wieder fest, das heißt die letzte Integration läuft über Xn-1, weil ich ja die Endpunkte festhalte.

Das heißt, wir haben hier, wenn ich das mal so formal aufschreiben darf, nehmen wir ganz viele Integrale mit dx1, dx2 bis dxn-1.

Und das notiere ich jetzt einfach mal so, aber was es einfach bedeuten soll, ist ganz viele Integrale hintereinander mit dx1 bis dxn-1.

Also nicht erschrecken lassen von diesem komischen Summensymbol.

Das war das. Und dann hatten wir einen Normierungsfaktor, den hatten wir a genannt, den hatte ich a von n genannt und n ist die Anzahl dieser Diskretisierungen.

Etwas einsichtsreicher nennt man den a von Epsilon, aber das Epsilon hat direkt mit diesen Diskretisierungen zu tun, denn Epsilon ist tb-ta, also die Gesamtzeitdauer, die ich da habe,

unterteilt in n Teile. Das ist unser Epsilon, das ist unser kleiner Zeitschritt, ich hätte es auch Delta t nennen können.

Und für jeden Faktor n kommt der nochmal hoch n vor. Also Sie sehen schon, dieses a, ich hätte im Epsilon auch ein n schreiben können, da steht da a von n hoch n, so ein bisschen einsichtsreicher a von Epsilon hoch n.

Und ich hatte Ihnen noch nicht gesagt, wie dieser Normierungsfaktor aussieht. Das hatte ich offen gelassen. Und über den müssen wir offensichtlich noch etwas herausfinden, denn bis jetzt haben wir nicht den blassesten Schimmer.

Aber das werden wir heute auch lernen. Der muss eine ganz bestimmte Form haben. Und dann hatten wir danach, oder das gehörte auch zur Elementaramplitude.

Und diese Elementaramplitude war ein oscillierender Term, ein i. Und dann hatten wir ein Durchh quer mal die klassische Wirkung. Also Sie nehmen die Wirkung Ihres Systems.

Und das ist die Stelle, an der eingeht in die Übergangsamplitude. Was haben Sie da eigentlich für ein System? Welche Masse hat denn Ihr Teilchen?

Gibt es da ein Potential, in dem sich das Teilchen bewegt? Welche Ladung hat das Teilchen? Wie interagiert das mit eventuellen Feldern?

Sie wissen, das ist alles in der klassischen Wirkung kuliert. Und es ist die Magie des Pfadintegrals, dass Sie hier auf der rechten Seite eine klassische Konstruktion hereinstecken.

Und auf der linken Seite eine komplexwertige Größe herausbekommen, die die Wahrscheinlichkeitsamplitude ist, die Ihnen die Antwort auf die Fragen der Quantenmechanik gibt.